Testen: Beidseitiger Test


Aufgabe: Beidseitiger Test, Berechnung des Ablehnungsbereichs

Beim Münzwurf geht man davon aus, dass beide Ereignisse Wappen und Zahl gleichwahrscheinlich sind mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 für Wappen. Zur Überprüfung soll eine Münze nun 33-mal geworfen werden, wobei das Signifikanzniveau auf 5% festgelegt wird.

Lösung
Bestimmung des Ablehnungsbereichs mit den Tabellen der Binomialverteilung und mit der Näherungsformel von de Moivre-Laplace:
  • Stichprobenumfang: n = 33
  • Treffer bedeutet: Wappen liegt oben.
  • Zufallsgröße X: Anzahl der Treffer
  • X ist bei wahrer Nullhypothese B33;0,5-verteilt.
  • Die Hypothesen lauten: H0:p = 0,5 (Die Münze sei ideal) und H1:p ≠ 0,5.
    Da große Werte und kleine Werte von X gegen H0 sprechen, handelt es sich um einen beidseitigen Test.
  • Vorgegebenes Signifikanzniveau: α = 5%

  • Bestimmung des Ablehnungsbereichs:

    • Methode 1: Lösung mit den Tabellen der Binomialverteilung


      Gesucht ist die kleinste Trefferzahl k mit P(X≥k) = 1-P(X≤k-1) ≤ 2,5% = α/2 und
      die größte Trefferzahl k mit P(X ≤ k) ≤ 2,5%% = α/2.
      MatheGrafix liefert den Ablehnungsbereich {0,...,10} ∪ {23,...,33}.
      Der genaue Wert für α ist bei dieser Methode 3,50%.

      Bild links: Diese Darstellung wird von MatheGrafix automatisch generiert. MatheGrafix berechnet den Ablehnungsbereich {0,...,10} ∪ {23,...,33}.
      Bild rechts: Bei der summierten Binomialverteilung wurden zwei Grenzen eingezeichnet:
      - die untere Grenze α=2,5% trennt den unteren Ablehnungsbereich vom Annahmebereich.
      - die obere Grenze 1-α=97,5% liefert wegen P(X≤k-1) ≥ 0,975 den Wert k-1=22, damit k=23 als untere Grenze für den oberen Ablehnungsbereich.


    • Methode 2: Lösung mit der Näherungsformel von de Moivre-Laplace

      Man berechnet die Grenzen clinks = µ - 1,96*σ = 10,87 und crechts = µ + 1,96*σ = 22,13, diese trennen den Ablehnungsbereich vom Annahmebereich.
      MatheGrafix liefert mit dieser Methode ebenfalls den Ablehnungsbereich {0,...,10} ∪ {23,...,36}.

      Bild: Bei dieser Methode trennen die Senkrechten bei clinks und crechts den Ablehnungsbereich vom Annahmebereich. Die Darstellung mit Rechtecken oder Quadern eignet sich hier nicht, da die Trennung so nicht sichtbar wird. Daher wird die Binomialverteilung als Stabdiagramm dargestellt.
Ergebnis: Der Ablehnungsbereich von H0 ist {0,...,10} ∪ {23,...,36}. Fallen bei 33 Würfen weniger als 11 oder mehr als 22-mal Wappen, kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt werden, dass die Münze ideal ist.



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